这篇教程线性回归的原理及Python实现写得很实用，希望能帮到您。完整实现代码请参考本人的p...哦不是...github：regression_base.py linear_regression.py linear_regression_example.py
1. 原理篇
我们用人话而不是大段的数学公式来讲讲线性回归是怎么一回事。
1.1 线性方程组
上小学或者中学的时候，很多人就接触过线性方程组了。举个栗子，如果x + y = 2且2x + y = 3，那么3x + 4y = ?。我们可以轻松地得出结论，解线性方程组得到x = 1且y = 1，所以3x + 4y = 3 + 4 = 7。
1.2 超定方程组
对于方程组Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。翻译成人话就是方程组里方程的个数n太多了，比要求解的变量数m还多，这个方程是没办法求出精确解的。比如x + y = 2, 2x + y = 3且x + 2y = 4，那么我们是无法求出x和y能够同时满足这三个等式的。
1.3 线性回归问题
我们假设公司有n个同事(n = 10000)，他们的年龄为A = [a1, a2...an]，职级为B = [b1, b2...bn]，工资为C = [c1, c2...cn]，满足方程组Ax + By + z = C，我们想求出x, y 和z的值从而预测同事的工资，这样的问题就是典型的线性回归问题。我们有3个未知数x, y, z要求解，却有10000个方程，这显然是一个超定方程组。
1.4 最小二乘法
如何求解这个超定方程组呢？当当当当，最小二乘法闪亮登场了。假设n个同事有m个特征（年龄、职级等），收集这些特征组成m行n列的矩阵X，同事的工资为m行1列的矩阵Y，且满足m > n。我们要求解n个未知数W = [w1, w2...wn]和1个未知数b，满足方程组W * X + b = Y。
当我们的预测值完全等于真实值的时候，MSE等于0。根据上面的讲解，显然我们不太可能找到满足方程的精确解W，也就不可能准确地预测出Y，所以MSE不可能为0。但是我们想办法找出方程的近似解让MSE最小，这就是最小二乘法。
1.5 求近似解
如何求让MSE为零的近似解W呢？前方小段数学公式低能预警。
1. 使用MSE作为损失函数L
3. 对w求偏导，得
4. 对b求偏导，得
所以，参数W的梯度就是式3，参数b的梯度就是式4。
1.6 梯度下降法
请参考我的另一篇文章，在这里就不赘述。链接如下：
李小文：梯度下降的原理及Python实现 zhuanlan.zhihu.com 1.7 批量梯度下降
遍历数据集中所有的样本，计算梯度并更新参数，记做1个epoch。经过若干个epochs之后，算法收敛或终止，计算量较大。
1.8 随机梯度下降
使用数据集中随机的一个样本，计算梯度并更新参数，直至算法收敛或终止，计算量较小。
2. 实现篇
本人用全宇宙最简单的编程语言——Python实现了线性回归算法，没有依赖任何第三方库，便于学习和使用。简单说明一下实现过程，更详细的注释请参考本人github上的代码。
2.1 创建RegressionBase类
初始化，存储权重weights和偏置项bias。
class RegressionBase ( object ):
def __init__ ( self ):
self . bias = None
self . weights = None
2.2 创建LinearRegression类
初始化，继承RegressionBase类。
class LinearRegression ( RegressionBase ):
def __init__ ( self ):
RegressionBase . __init__ ( self )
2.3 预测一个样本
def _predict ( self , Xi ):
return sum ( wi * xij for wi , xij in zip ( self . weights , Xi )) + self . bias
2.4 计算梯度
根据损失函数的一阶导数计算梯度。
def _get_gradient_delta ( self , Xi , yi ):
y_hat = self . _predict ( Xi )
bias_grad_delta = yi - y_hat
weights_grad_delta = [ bias_grad_delta * Xij for Xij in Xi ]
return bias_grad_delta , weights_grad_delta
2.5 批量梯度下降
正态分布初始化weights，外层循环更新参数，内层循环计算梯度。
def _batch_gradient_descent ( self , X , y , lr , epochs ):
m , n = len ( X ), len ( X [ 0 ])
self . bias = 0
self . weights = [ normalvariate ( 0 , 0.01 ) for _ in range ( n )]
for _ in range ( epochs ):
bias_grad = 0
weights_grad = [ 0 for _ in range ( n )]
for i in range ( m ):
bias_grad_delta , weights_grad_delta = self . _get_gradient_delta (
X [ i ], y [ i ])
bias_grad += bias_grad_delta
weights_grad = [ w_grad + w_grad_d for w_grad , w_grad_d
in zip ( weights_grad , weights_grad_delta )]
self . bias += lr * bias_grad * 2 / m
self . weights = [ w + lr * w_grad * 2 / m for w ,
w_grad in zip ( self . weights , weights_grad )]
2.6 随机梯度下降
正态分布初始化weights，外层循环迭代epochs，内层循环随机抽样计算梯度。
def _stochastic_gradient_descent ( self , X , y , lr , epochs , sample_rate ):
m , n = len ( X ), len ( X [ 0 ])
k = int ( m * sample_rate )
self . bias = 0
self . weights = [ normalvariate ( 0 , 0.01 ) for _ in range ( n )]
for _ in range ( epochs ):
for i in sample ( range ( m ), k ):
bias_grad , weights_grad = self . _get_gradient_delta ( X [ i ], y [ i ])
self . bias += lr * bias_grad
self . weights = [ w + lr * w_grad for w ,
w_grad in zip ( self . weights , weights_grad )]
2.7 训练模型
使用批量梯度下降或随机梯度下降训练模型。
def fit ( self , X , y , lr , epochs , method = "batch" , sample_rate = 1.0 ):
assert method in ( "batch" , "stochastic" )
if method == "batch" :
self . _batch_gradient_descent ( X , y , lr , epochs )
if method == "stochastic" :
self . _stochastic_gradient_descent ( X , y , lr , epochs , sample_rate )
2.8 预测多个样本
def predict ( self , X ):
return [ self . _predict ( xi ) for xi in X ]
3 效果评估
3.1 main函数
使用著名的波士顿房价数据集，按照7:3的比例拆分为训练集和测试集，训练模型，并统计准确度。
def main ():
@run_time
def batch ():
print ( "Tesing the performance of LinearRegression(batch)..." )
reg = LinearRegression ()
reg . fit ( X = X_train , y = y_train , lr = 0.02 , epochs = 5000 )
get_r2 ( reg , X_test , y_test )
@run_time
def stochastic ():
print ( "Tesing the performance of LinearRegression(stochastic)..." )
reg = LinearRegression ()
reg . fit ( X = X_train , y = y_train , lr = 0.001 , epochs = 1000 ,
method = "stochastic" , sample_rate = 0.5 )
get_r2 ( reg , X_test , y_test )
X , y = load_boston_house_prices ()
X = min_max_scale ( X )
X_train , X_test , y_train , y_test = train_test_split ( X , y , random_state = 10 )
batch ()
stochastic ()
3.2 效果展示
批量梯度下降拟合优度0.784，运行时间12.6秒； 随机梯度下降拟合优度0.784，运行时间1.6秒。效果还算不错~
3.3 工具函数
本人自定义了一些工具函数，可以在github上查看utils
run_time - 测试函数运行时间
load_boston_house_prices - 加载波士顿房价数据
train_test_split - 拆分训练集、测试集
get_r2 - 计算拟合优度
总结
线性回归的原理：求解超定方程组。
线性回归的实现：加减法，for循环。
梯度下降的原理及Python实现 逻辑回归的原理及Python实现
