自学教程：GBDT回归的原理及Python实现

完整实现代码请参考本人的p...哦不是...github：

1. 原理篇

我们用人话而不是大段的数学公式来讲讲GBDT回归是怎么一回事。

1.1 温故知新

回归树是GBDT的基础，之前的一篇文章曾经讲过回归树的原理和实现。链接如下：

zhuanlan.zhihu.com

1.2 预测年龄

仍然以预测同事年龄来举例，从《回归树》那篇文章中我们可以知道，如果需要通过一个常量来预测同事的年龄，平均值是最佳选择之一。

1.3 年龄的残差

我们不妨假设同事的年龄分别为5岁、6岁、7岁，那么同事的平均年龄就是6岁。所以我们用6岁这个常量来预测同事的年龄，即[6, 6, 6]。每个同事年龄的残差 = 年龄 - 预测值 = [5, 6, 7] - [6, 6, 6]，所以残差为[-1, 0, 1]

1.4 预测年龄的残差

为了让模型更加准确，其中一个思路是让残差变小。如何减少残差呢？我们不妨对残差建立一颗回归树，然后预测出准确的残差。假设这棵树预测的残差是[-0.9, 0, 0.9]，将上一轮的预测值和这一轮的预测值求和，每个同事的年龄 = [6, 6, 6] + [-0.9, 0, 0.9] = [5.1, 6, 6.9]，显然与真实值[5, 6, 7]更加接近了， 年龄的残差此时变为[-0.1, 0, 0.1]，预测的准确性得到了提升。

1.5 GBDT

重新整理一下思路，假设我们的预测一共迭代3轮 年龄：[5, 6, 7]

第1轮预测：[6, 6, 6] (平均值)

第1轮残差：[-1, 0, 1]

第2轮预测：[6, 6, 6] (平均值) + [-0.9, 0, 0.9] (第1颗回归树) = [5.1, 6, 6.9]

第2轮残差：[-0.1, 0, 0.1]

第3轮预测：[6, 6, 6] (平均值) + [-0.9, 0, 0.9] (第1颗回归树) + [-0.08, 0, 0.07] (第2颗回归树) = [5.02, 6, 6.97]

第3轮残差：[-0.08, 0, 0.03]

看上去残差越来越小，而这种预测方式就是GBDT算法。

1.6 公式推导

看到这里，相信您对GBDT已经有了直观的认识。这么做有什么科学依据么，为什么残差可以越来越小呢？前方小段数学公式低能预警。

1. 假设要做m轮预测，预测函数为Fm，初始常量或每一轮的回归树为fm，输入变量为X，有：
   
2. 设要预测的变量为y，采用MSE作为损失函数：
   
3. 我们知道泰勒公式的一阶展开式是长成这个样子滴：
   
4. 如果：
   
5. 那么，根据式3和式4可以得出：
   
6. 根据式2可以知道，损失函数的一阶偏导数为:
   
7. 根据式6可以知道，损失函数的二阶偏导数为：
   
8. 蓄力结束，开始放大招。根据式1，损失函数的一阶导数为：
   
9. 根据式5，将式8进一步展开为：
   
10. 令式9，即损失函数的一阶导数为0，那么：
    
11. 将式6，式7代入式9得到：
    

因此，我们需要通过用第m-1轮残差的均值来得到函数fm，进而优化函数Fm。而回归树的原理就是通过最佳划分区域的均值来进行预测。所以fm可以选用回归树作为基础模型，将初始值，m-1颗回归树的预测值相加便可以预测y。

2. 实现篇

本人用全宇宙最简单的编程语言——Python实现了GBDT回归算法，没有依赖任何第三方库，便于学习和使用。简单说明一下实现过程，更详细的注释请参考本人github上的代码。

2.1 导入回归树类

回归树是我之前已经写好的一个类，在之前的文章详细介绍过，代码请参考：

from ..tree.regression_tree import RegressionTree

2.2 创建GradientBoostingBase类

初始化，存储回归树、学习率、初始预测值和变换函数。（注：回归不需要做变换，因此函数的返回值等于参数）

class GradientBoostingBase(object):
    def __init__(self):
        self.trees = None
        self.lr = None
        self.init_val = None
        self.fn = lambda x: x

2.3 计算初始预测值

初始预测值即y的平均值。

def _get_init_val(self, y):
    return sum(y) / len(y)

2.4 计算残差

def _get_residuals(self, y, y_hat):
    return [yi - self.fn(y_hat_i) for yi, y_hat_i in zip(y, y_hat)]

2.5 训练模型

训练模型的时候需要注意以下几点：

1. 控制树的最大深度max_depth；

2. 控制分裂时最少的样本量min_samples_split；

3. 训练每一棵回归树的时候要乘以一个学习率lr，防止模型过拟合；

4. 对样本进行抽样的时候要采用有放回的抽样方式。

def fit(self, X, y, n_estimators, lr, max_depth, min_samples_split, subsample=None):
    self.init_val = self._get_init_val(y)

    n = len(y)
    y_hat = [self.init_val] * n
    residuals = self._get_residuals(y, y_hat)

    self.trees = []
    self.lr = lr
    for _ in range(n_estimators):
        idx = range(n)
        if subsample is not None:
            k = int(subsample * n)
            idx = choices(population=idx, k=k)
        X_sub = [X[i] for i in idx]
        residuals_sub = [residuals[i] for i in idx]
        y_hat_sub = [y_hat[i] for i in idx]

        tree = RegressionTree()
        tree.fit(X_sub, residuals_sub, max_depth, min_samples_split)

        self._update_score(tree, X_sub, y_hat_sub, residuals_sub)

        y_hat = [y_hat_i + lr * res_hat_i for y_hat_i,
                    res_hat_i in zip(y_hat, tree.predict(X))]

        residuals = self._get_residuals(y, y_hat)
        self.trees.append(tree)

2.6 预测一个样本

def _predict(self, Xi):
    return self.fn(self.init_val + sum(self.lr * tree._predict(Xi) for tree in self.trees))

2.7 预测多个样本

def predict(self, X):
    return [self._predict(Xi) for Xi in X]

3 效果评估

3.1 main函数

使用著名的波士顿房价数据集，按照7:3的比例拆分为训练集和测试集，训练模型，并统计准确度。

@run_time
def main():
    print("Tesing the accuracy of GBDT regressor...")

    X, y = load_boston_house_prices()

    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, random_state=10)

    reg = GradientBoostingRegressor()
    reg.fit(X=X_train, y=y_train, n_estimators=4,
            lr=0.5, max_depth=2, min_samples_split=2)

    get_r2(reg, X_test, y_test)

3.2 效果展示

最终拟合优度0.851，运行时间5.0秒，效果还算不错~

3.3 工具函数

本人自定义了一些工具函数，可以在github上查看

github.com

1. run_time - 测试函数运行时间

2. load_boston_house_prices - 加载波士顿房价数据

3. train_test_split - 拆分训练集、测试集

4. get_r2 - 计算拟合优度

总结

GBDT回归的原理：平均值加回归树

GBDT回归的实现：加加减减for循环