九年级是一个至关重要的学年，同学们一定要在期末考试来临之前准备好数学期末试卷来熟悉题型，认真复习，下面是51自学小编为大家带来的关于无锡崇安区九年级数学上册期末试卷，希望会给大家带来帮助。 无锡崇安区九年级数学上册期末试卷： 一.选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分.) 1.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为( ) A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9 【考点】解一元二次方程-配方法. 【专题】配方法. 【分析】配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9.故选D. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用. 2.以3和4为根的一元二次方程是( ) A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=0 【考点】根与系数的关系. 【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行作出正确判断. 【解答】解：A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此选项正确; B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此选项不正确; C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此选项不正确; D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此选项不正确; 故选A. 【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2= ，x1•x2= . 3.二次函数y=x2+4x﹣5的象的对称轴为( ) A.直线x=2 B.直线x=﹣2 C.直线x=4 D.直线x=﹣4 【考点】二次函数的性质. 【分析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可. 【解答】解：二次函数y=x2+4x﹣5的象的对称轴为：x=﹣ =﹣ =﹣2. 故选B. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 4.已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( ) A.2.5 B.3 C.5 D.10 【考点】切线的性质. 【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5. 【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相切， ∴点O到直线l的距离等于圆的半径， 即点O到直线l的距离为5. 故选C. 【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔dr. 5.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是( ) A.2 B. C.10 D. 【考点】方差;算术平均数. 【分析】根据平均数的公式求出x的值，根据方差公式求出方差. 【解答】解：由题意得， (5+2+x+6+4)=4， 解得，x=3， s2= [(5﹣4)2+(2﹣4)2+(3﹣4)2+(6﹣4)2+(4﹣4)2] =2， 故选：A. 【点评】本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键.方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]. 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A. B.3 C. D.2 【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理. 【分析】设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB. 【解答】解：设BC=x，则AB=3x， 由勾股定理得，AC=2 x， tanB= = =2 ， 故选：D. 【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键. 7.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 【考点】圆内接四边形的性质. 【专题】计算题. 【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解. 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180°， ∴∠A=180°﹣70°=110°. 故选B. 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 8.AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则中阴影部分的面积为( ) A. ﹣ B. ﹣2 C.π﹣ D. ﹣ 【考点】扇形面积的计算;切线的性质. 【分析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解. 【解答】解：过O点作OE⊥CD于E， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°， ∵⊙O的半径为2， ∴OE=1，CE=DE= ， ∴CD=2 ， ∴中阴影部分的面积为： ﹣ ×2 ×1= π﹣ . 故选：A. 【点评】考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积. 9.E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式中，错误的是( ) 【考点】平行线分线段成比例;平行四边形的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD;AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到 = = ，用AB等量代换CD，得到 = = ;再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得 = ，由此可判断A选项中的比例是错误的. 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD;AD∥BC， ∴ = = ，而AB=CD， ∴ = = ，而AB=CD， ∴ = = ; 又∵AF∥BC， ∴ = . 故选A. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质. 10.双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)，则有( ) A.a=b+2k B.a=b﹣2k C.k 【考点】二次函数象与系数的关系. 【分析】根据抛物线的开口方向和反比例函数所处的象限判断a<0，k<0，根据对称轴x=﹣ =﹣ 得出a=b，由双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)，对称k=﹣ m，m= a﹣ b，进而对称8k=a=b，即可得出a 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)， ∴对称轴x=﹣ =﹣ ， ∴a=b<0， ∵双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)， ∴k=﹣ m，m= a﹣ b， ∴m=﹣2k，m=﹣ a=﹣ b， ∴﹣2k=﹣ a=﹣ b， ∴8k=a=b， ∵a<0， ∴a 故选D. 【点评】本题考查了二次函数象与系数的关系，利用抛物线的顶点坐标和二次函数象上点的坐标特征是解题的关键. 二.填空题(本大题共8小题，每题2分，共16分.) 11.方程3x2﹣4x+1=0的一个根为a，则3a2﹣4a+5的值为 4 . 【考点】一元二次方程的解;代数式求值. 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0，求出3a2﹣4a的值，再把3a2﹣4a的值代入式子3a2﹣4a+5即可求出代数式的值. 【解答】解：先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0， 可得3a2﹣4a+1=0， 解得3a2﹣4a=﹣1; 把3a2﹣4a=﹣1代入3a2﹣4a+5=﹣1+5=4. 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义. 12.抛物线y=2(x﹣1)2﹣1与y轴的交点坐标是 (0，1) . 【考点】二次函数象上点的坐标特征. 【专题】探究型. 【分析】根据y轴上点的坐标特点令x=0，求出y的值即可. 【解答】解：令x=0，则y=2(0﹣1)2﹣1=1， 故抛物线y=2(x﹣1)2﹣1与y轴的交点坐标是(0，1). 故答案为：(0，1) 【点评】本题考查的是二次函数象上点的坐标特点及y轴上点的坐标特点，熟知y轴上点的横坐标为0的特点是解答此题的关键. 13.已知斜坡的坡角为α，坡度为1：1.5，则tanα的值为 . 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【专题】应用题. 【分析】根据坡度的概念进行解答，坡度即为坡角的正切值. 【解答】解：由题意知斜坡的坡角为α，坡度为1：1.5， 即tanα=1：1.5= ， 故答案为： . 【点评】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡. 14.圆锥的底面圆半径为3cm，侧面积为15πcm2，则圆锥的母线长为 5 cm. 【考点】圆锥的计算. 【专题】计算题. 【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 •2π•3•l=15π，然后解方程即可. 【解答】解：设圆锥的母线长为lcm， 根据题意得 •2π•3•l=15π，解得l=5， 所以圆锥的母线长为5cm. 故答案为5. 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 15.100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 . 【考点】概率公式. 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数; ②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 【解答】解：100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 = . 故答案为 . 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= . 16.在△ABC中，最大∠A是最小∠C的2倍，且AB=2，AC=3，则BC的长为 . 【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】作出∠A的平分线AD，利用相似三角形的判定得出△BAD∽△BCA，进而得出 ，从而得出6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)，进而得出BC的值. 【解答】解：作∠A的平分线AD， ∵最大角∠A是最小角∠C的两倍， ∴∠BAD=∠DAC=∠C， ∴AD=CD， ∵∠BAC=2∠C， ∴∠BAD=∠C， 又∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴ ， ∴ ， ∴6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)， 解得：AD= ， ∴CB= . 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线后利用相似三角形性质求出是解决问题的关键. 17.△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 . 【考点】垂径定理;圆周角定理;解直角三角形. 【专题】压轴题. 【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH. 【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1× = ， 由垂径定理可知EF=2EH= . 故答案为： . 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形. 18.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(﹣1，0).则S=a+b+c的值的变化范围是 0 【考点】二次函数象上点的坐标特征. 【专题】计算题. 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可. 【解答】解：将点(0，1)和(﹣1，0)分别代入抛物线解析式，得c=1，a=b﹣1， ∴S=a+b+c=2b， 由题设知，对称轴x= ， ∴2b>0. 又由b=a+1及a<0可知2b=2a+2<2. ∴0 故本题答案为：0 【点评】本题考查了二次函数象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题. 三.解答题(本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤) 19.解方程： ①x2﹣6x﹣4=0 ②10x2﹣29x+10=0. 【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法. 【分析】①移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可; ②先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【解答】解：①x2﹣6x﹣4=0， x2﹣6x=4， x2﹣6x+9=4+9， (x﹣3)2=13， x﹣3= ， x1=3+ ，x2=3﹣ ; ②10x2﹣29x+10=0， (2x﹣5)(5x﹣2)=0， 2x﹣5=0，5x﹣2=0， x1= ，x2= . 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键. 20.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值. 【考点】根的判别式;根与系数的关系. 【分析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围; (2)根据根与系数的关系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函数实数根，代入m=x1x2，即可得到结果. 【解答】解：(1)∵方程有实数根， ∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4; (2)∵x1+x2=4， ∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2， ∴x1=﹣2， 把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0， 解得：m=﹣12. 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系. 21.在1，2，3，4，5这五个数中，先任意选出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点(a，b)，求组成的点(a，b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率.(请用“画树状”或“列表”等方法写出分析过程) 【考点】列表法与树状法. 【分析】首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点(a，b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解：列表得： 1 2 3 4 5 1 ﹣ (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) ﹣ (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) ﹣ (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) ﹣ (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ﹣ ∵组成的点(a，b)共有20个，其中横坐标为偶数、纵坐标为奇数的点有6个，…6分 ∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为 .…8分 【点评】此题考查的是用列表法或树状法求概率.列表法或树状法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验. 22.已知抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(﹣1，0)、B(2，3). (1)求a、b、c的值; (2)直接写出当y12 ; (3)已知点C是抛物线上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标. 【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数象上点的坐标特征;二次函数与不等式(组). 【分析】(1)利用待定系数法即可求得; (2)判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得; (3)求得抛物线与x轴的交点M，则S△ABM=6，从而判定M出即为C1点，过M点作AB的平行线交抛物线于C2，根据平行线的性质判定此时三角形ABC2的面积=6，求得平行线与抛物线的交点，即为C点. 【解答】解：(1)∵抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(﹣1，0)、B(2，3). ∴ ， 解得 ， ， ∴a=﹣1，b=1，c=3; (2)∵a=﹣1<0， ∴抛物线的开口向下， ∴x<﹣1或x>2时，抛物线上的部分在直线的下方， ∴当y12. 故答案为 x<﹣1或x>2. (3)∵a=﹣1，b=1，c=3; ∴抛物线为y1=﹣x2+2x+3，直线为y2=x+1. ∵令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴抛物线的另一个交点为M(3，0)， ∴AM=4， ∴S△ABM= AM×3=6， ∴C1点与M的重合， 过M点作AB的平行线交抛物线于C2， 此时三角形ABC2的面积=6， 设平行线的解析式为y=x+n， ∵平行线经过(3，0)， ∴平行线的解析式为y=x﹣3， 解 得 或 ， ∴C的坐标为(3，0)或(﹣2，﹣5). 【点评】本题考查了二次函数的综合运用.关键是由已知条件求抛物线解析式和直线的解析式，根据抛物线与x轴的交点，判断三角形的面积，利用平移的性质解题. 23.AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= .求： (1)BC的长; (2)sin∠ADC的值. 【考点】解直角三角形. 【分析】(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= ，求出BE的长即可; (2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案. 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵cosC= ， ∴∠C=45°， 在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1， ∴AE=CE=1， 在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ， ∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4; (2)∵AD是△ABC的中线， ∴CD= BC=2， ∴DE=CD﹣CE=1， ∵AE⊥BC，DE=AE， ∴∠ADC=45°， ∴sin∠ADC= . 【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用. 24.从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD.中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm.求工件GEHCPD的面积.(参考数据：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ ) 【考点】解直角三角形的应用. 【专题】计算题. 【分析】工件GEHCPD的面积=矩形面积减去其余三个三角形的面积.其余三角形正好等于矩形面积的一半，只需求得矩形边长即可. 【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm ∴AE=AG÷tan11°18'≈10 那么DF=10 ∵FC=6cm，∠PCF=33°42′ ∴PF=FC×tan33°42′≈4 那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6 ∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD 所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余两个三角形是下边矩形的一半. ∴工件GEHCPD的面积=矩形面积÷2=6×16÷2=48. 【点评】解决本题的关键是根据题意得到所求面积与大矩形的关系. 25.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=﹣ x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元).若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳 x2元的附加费，设月利润为w外(元). (1)当x=1000时，y= 140 元/件; (2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)，并求当x为何值时，在国内销售的月利润为360000元? (3)如果某月要求将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)将x的值代入y关于x的解析式即可解题; (2)根据利润等于销售利润去掉附加费即可求得w内、w外的值，再根据月利润为360000元即可求得x的值，即可解题; (3)根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的一次函数式，即可解题. 【解答】解：(1)将x=1000代入y=﹣ x+150得： y=140， 故答案为 140; (2)w内=x(y﹣20)﹣62500=﹣ x2+130x﹣62500， w外=﹣ x2+(150﹣a)x; 当﹣ x2+130x﹣62500=360000时， 解得：x=6500， 故当x为6500时，在国内销售的月利润为360000元; (3)当x=5000时，w内=337500， w外=﹣5000a+500000， 若w内 若w内=w外，则a=32.5; 若w内>w外，则a>32.5， 所以，当10≤a<32.5时，选择在国外销售; 当a=32.5时，在国外和国内销售都一样; 当32.5 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键. 26.AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB. (1)求证：PB是⊙O的切线; (2)当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长. 【考点】切线的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】(1)根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案; (2)根据相似三角形的判定与性质，可得 = = ，根据解方程组，可得答案. 【解答】(1)证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠MAP=90°， ∴∠P+M=90°. ∵∠COB=∠APB， ∴∠M+∠MOB=90°， ∴∠MBO=90°，即OB⊥PB， ∵PB经过直径的外端点， ∴PB是⊙O的切线; (2)∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM， ∴△OBM∽△APM， ∴ = = ， = ①， = ② 联立①②得 ， 解得 ， 当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2. 【点评】本题考查了切线的判定与性质，(1)利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质;(2)利用了相似三角形的判定与性质，解方程组. 27.如1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15.动点P从点B出发，沿BD向点D匀速运动;线段EF从DC出发，沿DA向点A匀速运动，且与BD交于点Q，连接PE、PF.若P、Q两点同时出发，速度均为1个单位∕秒，当P、Q两点相遇时，整个运动停止.设运动时间为t(s). (1)当PE∥AB时，求t的值; (2)设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式; (3)如2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点时，求t的值. 【考点】圆的综合题. 【分析】(1)由勾股定理求出BD，当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，则PK=AE，PK∥AD，则 ，得出AE=PK= t，由AD=AE+ED= +t=9，解方程即可; (2)过点P作BC的平行线，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行线的性质得出证出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15﹣2t，得出S= PG•AB，即可得出结果; (3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，则∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，则EF为直径，由圆周角定理得出∠EPF=90°，证出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出对应边成比例 = ，即可求出t的值. 【解答】解：(1)∵∠A=90° ∴BD= = =15， 当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°， 作PK⊥AB于K，如1所示： 则PK=AE，PK∥AD， 则 ，即 ， ∴AE=PK= t， ∴AD=AE+ED= +t=9， 解得：t= ; (2)过点P作BC的平行线，交EF于G，如2所示： ∵BD=15=BC， ∴∠BCD=∠BDC， ∵AD∥BC，EF∥DC， ∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC， ∴∠DEQ=∠EQD， ∴DQ=DE=t， 同理：PG=PQ=15﹣2t， ∴S= PG•AB= ×12(15﹣2t)=90﹣12t (3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，如3所示： 则∠PME=∠FNP=90°， ∴∠MPE+∠PEM=90°， 若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点， ∴EF为直径， ∴∠EPF=90°， ∴∠MPE+∠FPN=90°， ∴∠PEM=∠FPN， ∴△EMP∽△PNF， ∴ = ，即 ， 解得：t= 或 ， ∵2t≤15， ∴t≤ ， ∴t= . 【点评】本题是圆的综合题目，考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用圆周角定理才能得出结果. 28.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似? (3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在，请说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式; (2)分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长;若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO， = ，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长; (3)分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案.. 【解答】解：(1)过点E作EG⊥x轴于G点. ∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点， ∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°. ∵∠CDE=90°， ∴∠ODC+∠GDE=90°. ∵∠ODC+∠OCD=90°， ∴∠OCD=∠GDE. 在△OCD和△GED中 ， ∴△ODC≌△GED (AAS)， ∴EG=OD=1，DG=OC=2. ∴点E的坐标为(3，1). ∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2， ∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+k， 将C、E点的坐标代入解析式，得 . 解得 ， 抛物线的解析式为y= (x﹣2)2+ ; (2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO， ∴PD∥OC， ∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴PC=OD=1， ∴t=1; ②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO， = . ∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF. ∴PC=PD， ∴DF= CD. ∵CD2=OD2+OC2=22+12=5， ∴CD= ， ∴DF= . ∵ = ， ∴PC=PD= × = ， t= ， 综上所述：t=1或t= 时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似; (3)存在， 四边形MDEN是平行四边形时，M1(2，1)，N1(4，2); 四边形MNDE是平行四边形时，M2(2，3)，N2(0，2); 四边形NDME是平行四边形时，M3(2， )，N3(2， ). 【点评】本题考察了二次函数综合题，(1)利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式;(2)利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键;(3)利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键.
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