数列通项公式是高中数学的重点与难点，那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由51自学小编告诉你答案。 高中数学数列通项公式的求法总结 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当 为等差数列时，则 为二阶等差数列，其通项公式应当为 形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是 ，其常数项一定为0. 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3. ; 这类数列通常可转化为 ，或消去常数转化为二阶递推式 . 例1已知数列 中， ,求 的通项公式. 解析：解法一：转化为 型递推数列. ∵ ∴ 又 ，故数列{ ｝是首项为2，公比为2的等比数列.∴ ，即 . 解法二：转化为 型递推数列. ∵ =2xn-1+1(n≥2) ① ∴ =2xn+1 ② ②-①，得 (n≥2)，故{ ｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即 ，再用累加法得 . 解法三：用迭代法. 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数 的反函数为 求数列 的通项公式. 解析：由已知得 ，则 . 令 =,则 .比较系数，得 . 即有 .∴数列{ ｝是以 为首项， 为公比的等比数列，∴ ，故 . 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之. (4) 若取倒数,得 ，令 ，从而转化为(1)型而求之. (5) ; 这类数列可变换成 ，令 ，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列 求数列 的通项公式. 解析：∵ ，两边同除以 ，得 .令 ，则有 .于是，得 ，∴数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，即 ，从而 . 例4 设 求数列 的通项公式. 解析：设 用 代入，可解出 . ∴ 是以公比为-2，首项为 的等比数列. ∴ ，即 . (6) 这类数列可取对数得 ，从而转化为等差数列型递推数列. 二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 例5 设数列 求数列 的通项公式. 解析：由 可得 设 故 即 用累加法得 或 例6 在数列 求数列 的通项公式. 解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列. 令 使数列 是以 为公比的等比数列( 待定). 即 ∴ 对照已给递推式， 有 即 的两个实根. 从而 ∴ ① 或 ② 由式①得 ;由式②得 . 消去 . 例7 在数列 求 . 解析：由 ①，得 ②. 式②+式①，得 ，从而有 .∴数列 是以6为其周期.故 = =-1. 三、特殊的n阶递推数列 例8 已知数列 满足 ，求 的通项公式. 解析：∵ ① ∴ ② ②-①，得 .∴ 故有 将这几个式子累乘，得 又 例9 数列{ ｝满足 ，求数列{ ｝的同项公式. 解析：由 ①，得 ②. 式①-式②，得 ，或 ，故有 . ∴ , . 将上面几个式子累乘，得 ，即 . ∵ 也满足上式，∴ .高中数学常见数列通项公式 累加法 递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和 例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式 解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2 ∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)) ∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2) 累乘法 递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积 例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an 解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1) 构造法 将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列 连加相减，连乘相除 例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2) 解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2) nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) ∴an=3(n+1)
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